Fonctions
MCR3U

Distinguer une fonction d'une relation (p. ex., correspondance de un à un, de plusieurs à un, test de la droite verticale) à l'aide de différentes représentations de relations (p. ex., utiliser des correspondances, des graphiques, des tables de valeurs et des équations) et démontrer une compréhension de ce que représente une fonction.

Utiliser la notation fonctionnelle pour représenter des fonctions affines et des fonctions du second degré définies de différentes façons, c.-à-d. algébrique, graphique et numérique (p. ex., table de valeurs), et calculer des valeurs particulières de f(x).

Déterminer par exploration, à l'aide d'outils technologiques, le domaine et l'image des fonctions définies par f(x) = x, f(x) = x², f(x) = √x et f(x) = 1/x, représentées de façon numérique (p. ex., table de valeurs), graphique et algébrique, et identifier les restrictions additionnelles imposées par le contexte (p. ex., le domaine d'une fonction du second degré représentant la relation entre la hauteur à laquelle se trouve une balle et le temps écoulé se limite au temps durant lequel la balle est dans les airs).

Établir, à l'aide d'une variété de représentations numériques (p. ex., correspondances, tables de valeurs), le lien entre une fonction et sa réciproque comme un processus inverse (p. ex., le fait d'échanger le domaine et l'image de la fonction et de la réciproque).

Déterminer la représentation numérique ou graphique de la réciproque d'une fonction affine et d'une fonction du second degré données de façon algébrique ou numérique, et faire le lien entre les représentations graphiques de la fonction et de sa réciproque, c.-à-d. la symétrie de leurs graphiques par rapport à la droite définie par l'équation y = x.

Déterminer, à l'aide de la représentation graphique d'une fonction affine, la représentation algébrique de la fonction et de sa réciproque, établir le lien entre ces deux représentations algébriques (p. ex., avec la réciproque, les opérations inverses sont appliquées en ordre inverse) et vérifier ce lien pour la fonction du second degré écrite sous forme canonique f(x) = a(x – h)² + k et sa réciproque.

Déterminer, à l'aide d'outils technologiques, le rôle des paramètres a, c, d et k dans la représentation graphique de la fonction y = af(k(x – c)) + d où f(x) = x, f(x) = x², f(x) = √x et f(x) = 1/x, et décrire ce rôle à l'aide de transformations appliquées à la fonction y = f(x), c.-à-d. translation horizontale, translation verticale, symétrie par rapport à l'axe des x, par rapport à l'axe des y, agrandissement, rétrécissement vertical.

Décrire, oralement et par écrit (p. ex., en utilisant la notation fonctionnelle), les transformations que l'on doit appliquer au graphique d'une fonction de base donnée (p. ex., f(x) = x, f(x) = x², f(x) = √x et f(x) = 1/x) pour obtenir le graphique de la fonction définie par y = af(k(x – c)) + d et esquisser la transformée.

Déterminer la valeur maximale ou minimale d'une fonction du second degré exprimée sous la forme y = ax² + bx + c au moyen de méthodes algébriques (p. ex., en complétant le carré, en utilisant la factorisation partielle, en déterminant la moyenne des zéros de la fonction).

Explorer, à l'aide d'outils technologiques, les caractéristiques principales des fonctions exponentielles définies par f(x) = aˣ, a > 0, a ≠ 1 et leurs graphiques (p. ex., le domaine est l'ensemble des nombres réels, l'image est l'ensemble des nombres réels positifs, la fonction croît ou décroît pour toutes valeurs de x, l'axe des x est l'asymptote du graphique, l'ordonnée à l'origine est 1, les différences entre les valeurs de la table de valeurs forment une suite géométrique).

Déterminer, à l'aide d'outils technologiques, le rôle des paramètres a, c, d et k dans la représentation graphique de la fonction y = af(k(x – c)) + d où f(x) = bˣ, et décrire ce rôle à l'aide de transformations appliquées à la fonction exponentielle, c.-à-d. translations, symétries par rapport à l'axe des x, par rapport à l'axe des y, agrandissement, rétrécissement vertical.

Démontrer des identités trigonométriques simples en utilisant l'identité de Pythagore sin²x + cos²x = 1, l'identité quotient tan x = sin x/cos x et les identités des rapports trigonométriques inverses : cosec x = 1/sin x, sec x = 1/cos x et cotan x = 1/tan x.

Identifier, à partir de différentes représentations (p. ex., table de valeurs, représentation graphique, équation), les propriétés d'un phénomène périodique tiré d'une variété d'applications pouvant être modélisées par des fonctions sinusoïdales (p. ex., capter le mouvement d'un pendule par CBR).

Tracer, à l'aide d'outils technologiques, les esquisses des courbes représentatives de f(x) = sin x et de f(x) = cos x, où 0º ≤ x ≤ 720º et décrire leurs propriétés périodiques en faisant référence aux points remarquables, c.-à-d. points d'inflexion, maximums et minimums, abscisses à l'origine.

Déterminer, à l'aide d'outils technologiques, le rôle des paramètres a, c, d et k dans la représentation graphique de la fonction y = af(k(x – c)) + d où f(x) = sin x et f(x) = cos x. Décrire ce rôle à l'aide de transformations appliquées à la fonction y = f(x), c.-à-d. translation horizontale, translation verticale, symétrie par rapport à l'axe des x, par rapport à l'axe des y, agrandissement, rétrécissement horizontal ou vertical.

Tracer les esquisses des courbes de fonctions sinusoïdales pour une période complète (p. ex., celles définies par les fonctions sinusoïdales de la forme f(x) = a sin x, f(x) = cos(kx), f(x) = sin(x + d), f(x) = a sin(k(x + d)) + c et par f(x) = a cos(k(x + d)) + c) en identifiant les points remarquables, c.-à-d. points d'inflexion, maximums et minimums, abscisses à l'origine. Indiquer le domaine et l'image de chaque transformée.

Déterminer l'équation d'une fonction sinusoïdale à partir des caractéristiques données (p. ex., déterminer l'équation d'une fonction sinusoïdale ayant une période de 720º, une amplitude de 5 et un déphasage de 60º par rapport à la fonction de base y = sin x).

Explorer les différentes régularités du triangle arithmétique de Pascal (p. ex., régularité symétrique du triangle, régularité récursive des éléments du triangle, c.-à-d. chaque nombre de la table est la somme des deux nombres situés immédiatement au-dessus, la relation entre le nombre d'éléments dans une rangée et sa position dans le triangle) et d'une suite du genre suite de Fibonacci.

Décrire une suite à l'aide d'une fonction discrète (p. ex., la représentation d'une suite arithmétique peut se faire à l'aide d'une fonction dont le domaine est l'ensemble des nombres naturels et le graphique est composé de points discrets).

Déterminer la formule du terme général d'une suite donnée (p. ex., déterminer le terme général de la suite 1/2, 2/3, 3/4… et déterminer la formule du terme général tₙ définissant la suite arithmétique 5, 10, 15…, déterminer la formule du terme général tₙ définissant la suite géométrique 5, 10, 20…).

Explorer à l'aide d'outils technologiques (p. ex., outils en ligne) et décrire les stratégies utilisées (p. ex., estimer et vérifier à l'aide de la loi des puissances pour les exposants ou à l'aide de graphiques) pour déterminer le taux d'intérêt i ou le nombre de périodes n en utilisant la formule M = C(1 + i)ⁿ ou C = M/(1 + i)ⁿ et résoudre des problèmes reliés.

Explorer, à l'aide d'outils technologiques (p. ex., TVM Solveur d'une calculatrice à affichage graphique, outils en ligne), les effets sur les résultats d'une annuité lorsqu'on fait varier ses conditions (p. ex., changement du montant, de la fréquence des dépôts, du taux d'intérêt ou de la période de calcul de l'intérêt) selon une situation où le taux d'intérêt et le montant sont les mêmes (p. ex., plan d'épargne à long terme, prêt).