Modèles de fonctions
MCF3M

Comparer chacune des caractéristiques des fonctions du second degré à celles des fonctions affines : équations : y = mx + b et y = ax² + bx + c; graphiques : droite et parabole; tables de valeurs : premières différences constantes, égales à m, et deuxièmes différences constantes, égales à 2a; taux de variation : taux constant et taux changeant de façon constante.

Identifier par exploration, à l'aide d'outils technologiques, le rôle de a, h et k dans la représentation graphique de la fonction du second degré définie par une équation de la forme y = a(x – h)² + k et décrire leur effet sur l'équation y = x² et sa représentation graphique lors de transformations (p. ex., translation, symétrie, élongation, compression).

Transformer une équation de la forme y = ax² + bx + c en équation de la forme y = a(x – h)² + k en complétant le carré dans des situations où b/a représente un nombre rationnel simple (p. ex., y = 2x² + 4x – 8, y = 3x² + x – 7) et vérifier, à l'aide d'une calculatrice à affichage graphique, l'équivalence des deux équations.

Explorer le développement de la formule quadratique pour résoudre une équation du second degré (p. ex., à partir du développement de la formule quadratique, effectuer le développement analogue d'une équation du second degré, comme 2x² – 3x – 8 = 0, pour en déterminer les racines).

Expliquer l'existence de racines réelles ou non réelles d'une équation du second degré en analysant le discriminant et en se rapportant à la courbe associée (p. ex., un discriminant négatif ou un graphique qui ne croise pas l'axe des x donne des racines non réelles).

Déterminer, par essais systématiques à l'aide d'outils technologiques et en utilisant diverses stratégies (p. ex., propriétés de la fonction du second degré, transformations), l'équation d'une fonction du second degré la mieux ajustée pour modéliser un nuage de points.

Analyser des situations en utilisant différentes formules algébriques ou graphiques tirées de domaines d'application variés, et résoudre, à l'aide d'une stratégie appropriée (p. ex., représentation graphique, formule quadratique), l'équation du second degré qui en résulte.

Déterminer par exploration, à l'aide ou non d'outils technologiques (p. ex., calculatrice, logiciel pour une représentation graphique ou papier et crayon) et diverses stratégies (régularités, obtenir des valeurs d'un graphique, interpréter les lois des exposants), le sens d'un exposant rationnel, x^(m/n), x > 0, où m et n sont des entiers positifs.

Déterminer par exploration, à l'aide d'outils technologiques, les caractéristiques principales des fonctions exponentielles de la forme f(x) = aˣ, a > 0 et a ≠ 1 (p. ex., domaine et image, ordonnées à l'origine, intervalles de croissance ou de décroissance, asymptotes).

Identifier une relation provenant d'une situation réelle (p. ex., radioactivité, croissance de la population, dépréciation d'un bien, taux de refroidissement) comme une relation exponentielle d'après sa représentation graphique, sa table de valeurs ou son équation (p. ex., la forme du graphique représentant la population mondiale pendant les 200 dernières années suggère que cette relation est exponentielle).

Résoudre, à l'aide d'un graphique ou de l'équation d'une fonction exponentielle, des problèmes portant sur une application impliquant une relation exponentielle et déterminer les contraintes imposées par les limitations physiques du contexte.

Déterminer la valeur finale, la valeur actuelle ou le paiement d'une annuité, à l'aide d'outils technologiques (p. ex., tableur, calculatrice scientifique, calculatrice à affichage graphique) dans des situations où la période de paiement et la période de calcul de l'intérêt sont les mêmes.

Vérifier, à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique, les lois des sinus et du cosinus pour un triangle acutangle (p. ex., comparer les rapports a/sin A, b/sin B et c/sin C entre eux, en glissant l'un des sommets du triangle acutangle ABC).

Décrire sous quelles conditions employer la loi des sinus ou la loi du cosinus et résoudre les problèmes portant sur des triangles acutangles (p. ex., à partir des mesures des 3 côtés d'un triangle, utiliser la méthode la plus efficace pour trouver la valeur des angles manquants).

Poser et résoudre des problèmes se rapportant aux mesures de triangles acutangles dans le plan et dans l'espace (p. ex., hauteur d'un objet inaccessible, application avec au moins 2 triangles, distance entre 2 bateaux naviguant vers des caps différents au bout d'un certain temps).

Identifier, à partir de différentes représentations (p. ex., table de valeurs, représentation graphique, équation), les propriétés d'un phénomène périodique tiré d'une variété d'applications pouvant être modélisées par des fonctions sinusoïdales (p. ex., capter le mouvement d'un pendule par CBR, consommation de gaz naturel en Ontario, marées dans la baie de Fundy, pendule).

Déterminer par exploration, à l'aide de la calculatrice à affichage graphique ou d'un logiciel équivalent, l'effet d'une transformation unique (p. ex., translations horizontale et verticale, réflexion par rapport à l'axe des x, élongation verticale) sur le graphique de y = sin x.

Déterminer par exploration, à l'aide de la calculatrice à affichage graphique ou d'un logiciel équivalent, le rôle des paramètres a, c, d et k dans la représentation graphique des fonctions sinusoïdales de la forme f(x) = a sin x, f(x) = sin x + c, f(x) = sin(x – d) et f(x) = sin(kx), et décrire leurs effets sur les caractéristiques de la fonction f(x) = sin x.

Esquisser, à l'aide ou non d'outils technologiques, le graphique des fonctions sinusoïdales simples (p. ex., celles définies par les fonctions f(x) = a sin x, f(x) = sin x + c, f(x) = sin(x – d) et f(x) = sin(kx)) et déterminer le domaine et l'image de chacune des fonctions.

Résoudre des problèmes en interprétant le graphique d'une relation donnée ou le graphique obtenu, à l'aide d'outils technologiques, de l'équation représentant une application pouvant être modélisée par la fonction sinusoïdale et décrire les restrictions qui s'appliquent aux variables.